Методика выбора оптимальных проектных параметров с помощью неопределенных множителей Лагранжа

http://www.mai.ru/projects/mai_works/articles/num4/article3/page3.htm

Метод неопределенных множителей Лагранжа применяется для решения задач с аналитическим выражением для критерия оптимальности и при наличии ограничений на независимые переменные типа равенств. Для получения аналитического решения требуется, чтобы ограничения имели аналитический вид. Применение неопределенных множителей Лагранжа позволяет свести задачу оптимизации с ограничениями к задаче, решаемой методами исследования функций классического анализа. В этом случае порядок системы уравнений, решаемой для нахождения экстремума критерия оптимизации, повышается на число ограничений. Применение метода эффективно при количестве переменных три и менее. Метод используется и при количестве переменных более трех, если процесс описывается конечными уравнениями.

Пусть требуется найти экстремум функции , которая зависит от n переменных, связанных в свою очередь отношениями . Достигаемый функцией экстремум с учетом выполнения условий называется относительным, или условным. Если же число переменных равно числу соотношений (), то искомые неизвестные находятся решением системы уравнений, описываемых соотношениями . Решение задачи оптимизации сводится к проверке найденным таким способом значений переменных на функции . Таким образом, экстремальную задачу можно решить простым перебором переменных, удовлетворяющих условиям .

Если m < n, то можно из уравнений связи найти зависимость m переменных от n - m остальных переменных, т.е.

Функцию можно получить подстановкой полученных переменных в функцию . Тогда будет зависеть только от переменных, не связанных дополнительными условиями. Следовательно, снимая ограничения удается и уменьшить размерность исходной задачи оптимизации. Часто аналитически таким способом задачу решить не удается. Поэтому для решения задач отыскания экстремума функции многих переменных обычно используется метод неопределенных множителей Лагранжа.

При введении новых переменных , носящих название неопределенных множителей Лагранжа появляется возможность ввести новую функцию

,

т.е. функцию m + n переменных, в которую ограничения, накладываемые системой функций входят как составная часть.

Экстремальное значение функции совпадает с экстремальным значением функции , если выполняется условие по ограничениям . Необходимым условием экстремума функции многих переменных является равенство нулю дифференциала этой функции в экстремальной точке, т.е.

.

Для того, чтобы это выражение выполнялось при любых значениях независимых дифференциалов , необходимо равенство нулю коэффициентов при этих дифференциалах, что дает систему уравнений

     (1)

При этом новых независимых определяются из условия

     (2)

Объединение систем (6.1.1) и (6.1.2) можно получить

     (3)

Таким образом, задача в форме (3) сводится к задаче: найти

     (4)

Отдельно следует отметить, что в общем случае метод множителей Лагранжа позволяет найти лишь необходимые условия существования условного экстремума для непрерывных функций, имеющих непрерывные производные. Однако из физического смысла решаемой задачи обычно известно, идет ли речь о максимуме или минимуме функции , кроме того, как правило, в проектных задачах функция на рассматриваемом отрезке является унимодальной. Поэтому в проектных задачах нет необходимости значения переменных, найденные при решении рассмотренных систем уравнений, проверять на экстремум с помощью анализа производных более высокого порядка.